LOGRO: Solucionar
problemas haciendo uso de los conceptos de probabilidad, combinaciones y
permutaciones
La probabilidad de un evento es un número,
comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse
cuando se realiza un experimento aleatorio.
La probabilidad mide la mayor o menor
posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso o evento) cuando se
realiza un experimento aleatorio.
Para calcular la probabilidad de un evento
se toma en cuenta todos los casos posibles de ocurrencia del mismo; es decir,
de cuántas formas puede ocurrir determinada situación.
Los casos favorables de ocurrencia de un
evento serán los que cumplan con la condición que estamos buscando.
La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o
expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):
El
valor cero corresponde al evento imposible; ejemplo: lanzamos un dado al aire y la
probabilidad de que salga el número 7 es cero.
El
valor uno corresponde al evento seguro, ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad
de que salga cualquier número del 1 al 6 es
igual a uno (100%).
El resto de sucesos tendrá probabilidades
entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso
tenga lugar.
TIPOS DE EXPERIMENTOS
Experimentos deterministas
Son los experimentos de los que podemos
predecir el resultado antes de que se realicen.
Si dejamos caer una piedra desde una
ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia
arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero
después bajará.
Experimentos aleatorios
Son aquellos en los que no se puede
predecir el resultado, ya que éste depende del azar.
Ejemplos:
Si lanzamos una moneda no sabemos de
antemano si saldrá cara o cruz.
Si lanzamos un dado tampoco podemos
determinar el resultado que vamos a obtener.
Ver el vídeo:
TEORÍA DE PROBABILIDADES
La teoría de probabilidades se ocupa de
asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un
experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si
un evento es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas
definiciones:
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los posibles
resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por S.
Ejemplos:
Espacio muestral de una moneda:
E = {C, S}.
Espacio muestral de un dado:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Evento Simple
Evento simple es cualquier subconjunto del
espacio muestral.
Ejemplos:
Tirar un dado un evento sería que saliera
par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.
Un ejemplo completo
Una bolsa contiene bolas blancas y negras.
Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:
1. El espacio muestral.
E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b);
(b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n,n,n)}
2. El Evento A = {extraer tres bolas del
mismo color}.
A = {(b,b,b); (n, n,n)}
3. El Evento B = {extraer al menos una bola
blanca}.
B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b);
(b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}
4. El Evento C = {extraer una sola bola
negra}.
C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}
Evento Compuesto
Evento que incluye dos o más eventos
independientes.
Un ejemplo es el evento de obtener el mismo
lado (la misma cara) al lanzar dos veces una moneda. El resultado del primer
lanzamiento no afecta al segundo resultado. Es necesario considerar ambos
resultados para determinar el resultado final.
Ejemplo
Tirando un dado un suceso sería que saliera
par, otro, obtener múltiplo de 3.
Eventos compatibles
Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando
tienen algún suceso elemental común.
Ejemplo:
Si A es sacar puntuación par al tirar un
dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un
suceso elemental común.
Eventos incompatibles
Dos sucesos, A y B, son incompatibles
cuando no tienen ningún elemento en común.
Ejemplo:
Si A es sacar puntuación par al tirar un
dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.
Evento Dependiente
Evento cuyo resultado se ve afectado por el
resultado de otro(s) evento(s).
Sacar una segunda carta es un evento
dependiente cuando se sacó una primera carta sin regresarla al paquete.
Ejemplo:
Si A es sacar puntuación par al tirar un
dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.
Evento Independiente
Evento cuyo resultado no tiene que ver con
el resultado de otro(s) evento(s).
Por ejemplo, el resultado de lanzar una
moneda, y que caiga de cualquier lado, no depende del resultado de ninguno de
los lanzamientos anteriores. Por lo tanto, cada lanzamiento es un evento
independiente.
Ejemplo:
Al lazar dos dados los resultados son
independientes.
Actividad:
Responde
1. Uno de los eventos que se obtiene al
extraer tres bolas de una urna con dos bolas rojas y una negra es:
a. Sacar negra, roja, roja.
b. Sacar al menos una bola blanca.
c. Sacar negra, roja, negra.
a. Sacar negra, roja, roja.
b. Sacar al menos una bola blanca.
c. Sacar negra, roja, negra.
2. Un evento imposible de lanzar un dado es
que salga un número que:
a. Sea menor que 6.
b. No sea par ni impar.
c. Sea mayor o igual que 6.
3. Es un evento seguro, que al lanzar dos dados la suma de las
puntuaciones obtenidas sea:
a. Menor que 12.
b. Un número natural.
c. Un número par.
a. Menor que 12.
b. Un número natural.
c. Un número par.
4. Al lanzar un dado son eventos compatibles
a. Sacar par e impar.
b. Sacar múltiplo de 2 y múltiplo de 3.
c. Sacar múltiplo de 3 y múltiplo de 5.
5. Son eventos incompatibles que al lanzar dos dados la suma de las puntuaciones sea:
a. Par e impar
b. Par y múltiplo de 2.
c. Par y múltiplo de 5.
7. Son eventos independientes:
a. Lanzar dos dados.
b. La extracción de una segunda carta (sin reposición) de una baraja.
c. El ADN de un hijo y el de su padre.
8. Es un evento dependiente:
a. La puntuación obtenida al lanzar un segundo dado.
b. El color obtenido al sacar una segunda bola (sin reposición) de una urna con 3 bolas rojas y 2 verdes.
c. El sexo de un segundo hijo.
9. El evento contrario de que al lanzar un dado salga 2 es que salga:
a. Impar.
b. 1, 2, 3, 4, 5, 6.
c. Distinto de 2.
Probabilidad frecuencial y probabilidad teórica o clásica
La diferencia entre estas dos, las puedes ver en el siguiente vídeo:TÉCNICAS DE CONTEO
Las
técnicas de conteo ayudan a establecer el número de puntos muestrales (Espacio
Muestral) en un experimento.
Las más conocidas son: el principio de la multiplicación, la permutación y la combinación.
En un experimento aleatorio se considera
que existe el orden, cuando al conformar los puntos muestrales, el orden en que
se ubiquen los elementos de la población hace que los resultados sean
diferentes.
En un experimento aleatorio se considera
que exista la repetición cuando un elemento de la población se puede repetir en
los puntos muestrales.
Principio de Multiplicación
Si se desea realizar una actividad que consta
de “r” pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o
formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras
o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de; N1 x N2
x..........x Nr maneras o formas.
El principio multiplicativo implica que
cada uno de los pasos de la actividad debe ser llevado a efecto, uno tras otro.
Ejemplos:
Una persona desea construir su casa, para
lo cual considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de
dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede
hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina
galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera
¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?
Solución:
Considerando que
r = 4 pasos
N1= maneras de
hacer cimientos = 2
N2= maneras de
construir paredes = 3
N3= maneras de
hacer techos = 2
N4= maneras de
hacer acabados = 1
N1 x N2 x N3 x
N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa
El lanzamiento de 3 dados
El lanzamiento de 5 monedas
El lanzamiento de 1 dado y dos monedas
El principio de multiplicación también se aplica para aquellos casos en los cuales se debe obtener una muestra considerando poblaciones diferentes.
Ejemplo:
Antonio lleva para un viaje 4 pantalones, 5
camisas y 3 pares de zapatos. De cuantas maneras es posible que vista Antonio?
R/. 60 combinaciones o posibilidades
Permutación
Una permutación se utiliza cuando se quiere
calcular el número de elementos del espacio muestral de un experimento aleatorio, en el cual se
considera que existe el orden en la muestra pero no es posible repetir ningún
elemento de la población en su conformación.
La fórmula es nPr= n!/(n-r)!
Se lee: “la permutación de r en N”
Ejemplos:
De cuantas formas posibles se puede
conformar el podio en una carrera de 6 atletas?
r=3, N=6
3P6= 6!/(6-3)! = 720/(6-3)!
= 720/3! = 720/6 = 120 formas
posibles de conformar el podio.
Combinación
La combinatoria se utiliza cuando se quiere
calcular el número de elementos del espacio muestral en un experimento
aleatorio, el cual no se considera que existe el orden en la muestra y no es
posible repetir ningún elemento de la población en su conformación.
Su fórmula es: nCr= n!/[(n-r)!*r!]
Ejemplo:
Una organización de una escuela tiene 30
miembros. Cuatro miembros serán escogidos al azar para una entrevista con el
periódico de la escuela sobre el grupo. ¿Cuántos grupos de 4 personas son
posibles?
Actividad:
Desarrolla
los siguientes ejercicios:
Principio de suma y de
Multiplicación.
Un
vendedor tiene 7 clientes en Honduras y 13 clientes en Guatemala. ¿De cuántas
formas puede él telefonear…
1) A un cliente en Honduras y luego a uno en
Guatemala?
2) A un cliente en Honduras o a uno en Guatemala?
Claudia
visita una tienda de animales. Hay 37 perros y 15 gatos. ¿De cuántas formas
puede comprar…
3) Un perro o un gato?
4) Un perro y un gato?
En
una librería hay 11 libros de terror y 5 de misterio. ¿De cuántas formas
podemos seleccionar…
5) Terror o misterio?
6) Terror y misterio?
7) Misterio y otro misterio?
Permutaciones:
1. ¿Cuántos números de 5
cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?
2. ¿De cuántas formas
distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
3. ¿De cuántas formas
distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?
4. Con las letras de la
palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por
vocal?
5. ¿Cuántos números de cinco
cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son
mayores de 70.000?
6. ¿De cuántas formas pueden
colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el
portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?
Combinaciones
1. En una clase de 35 alumnos
se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités
diferentes se pueden formar?
2. ¿De cuántas formas pueden
mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
3. A una reunión asisten 10
personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han
intercambiado?
4. En una bodega hay en un
cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro
botellas?
5. ¿Cuántas apuestas de
Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto
de los seis resultados, de 49?
Cálculo de Probabilidades
Uno de los métodos más utilizados es
aplicando la Regla de Laplace:
define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y
casos posibles.
Probabilidad de un evento simple
Probabilidad de un evento compuesto
Ver
la explicación:
Actividad
En grupos de tres, resolver la siguiente actividad:
Espero les haya servido de ayuda.
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